時代呼喚數(shù)學家

　　2006年以來，華為在俄羅斯和法國這兩個傳統(tǒng)數(shù)學強國建立了數(shù)學研究所。今年初，在接受采訪時任正非說：這30年，其實我們真正的突破是數(shù)學，手機、系統(tǒng)設備是以數(shù)學為中心。

　　按任正非披露的信息，華為現(xiàn)在已有700多名數(shù)學家、800多名物理學家、120多名化學家、六七千名基礎研究專家。

　　無獨有偶，連向來被視為“拿來主義”大佬的馬化騰在上周二被問及貿(mào)易爭端時也說：“中國已經(jīng)走到發(fā)展前沿，拿來主義的空間越來越少。如果我們不繼續(xù)在基礎研究和關鍵技術上下苦功，我們的數(shù)字經(jīng)濟就是在沙堆上起高樓，難以為繼?！?/span>

　　今年兩會前，馬化騰還曾發(fā)表口頭預告：騰訊未來要拿出10億元建立基金，啟動“科學探索獎”，支持數(shù)學、物理等基礎科學的研究。

　　更早前的2016年，包括馬化騰、李彥宏、丁磊、徐小平在內(nèi)的中國互聯(lián)網(wǎng)工業(yè)界“大佬”組團捐贈了“未來科學大獎”，單項獎金100萬美元，承諾連續(xù)捐10年。

　　當被問起捐款原由時，馬化騰說：“這么好的事情怎么能沒有我？”他希望讓數(shù)學、生命科學等基礎科學領域成為新的時尚。

　　在上周六剛剛舉行的2019年未來論壇·深圳峰會上，深圳市副市長王立新從城市產(chǎn)業(yè)發(fā)展的角度提到：

　　工業(yè)界主動示愛數(shù)學，看起來樸素直白，背后卻經(jīng)歷了充滿辛酸淚的九曲十八彎。

　　要看清“破冰”的來路和去路，或許先要從驕傲的數(shù)學講起。

　　2.驕傲的數(shù)學

　　一群數(shù)學博士聚會，常見的調(diào)侃是：

　　“那誰是不是6化了？”

　　“聽說某某6化了？”

　　“什么？你小子濃眉大眼的，居然也6化了！”

　　“6化”一梗，源自理工大校MIT，描摹著數(shù)學和外部世界若即若離的微妙關系。

　　在MIT，所有課程都以數(shù)字編碼，6字打頭的是如今最炙手可熱的計算機。本來學數(shù)學的人，學著學著溜去了計算機，是為“6化”。

　　能“6化”，說明數(shù)學作為科學之母，跨入其他學科并不難；但“6化”成為一種調(diào)侃，則反映了數(shù)學和其他學科間的距離感。

　　在華為此前建立數(shù)學研究中心，并廣招數(shù)學博士時，也曾遇到過類似的尷尬。

　　一位快畢業(yè)的數(shù)學博士在知提乎問：華為為什么要招數(shù)學博士？

　　一個答案是這樣的：

　　答主認為，華為招的其實是應用數(shù)學博士，并非“主流數(shù)學”，從論文占比來說，純數(shù)才是數(shù)學研究的主流。

　　這個答案引發(fā)了激烈的討論，其中一種極端觀點是：應用數(shù)學根本不算數(shù)學。

　　為什么理論數(shù)學界如此急于對外“劃清界限”呢？

　　這是理論派的驕傲，也是理論派的孤獨。

　　美國數(shù)學史家莫里斯·克萊因稱這種隔絕為“數(shù)學的孤立”。

　　別誤會，數(shù)學并非生而驕傲。一開始，數(shù)學家們總熱衷于解決現(xiàn)實問題：牛頓是因為渴望算出雙星軌跡才發(fā)明了微積分；龐加萊是為了解決三體問題才發(fā)明了微分方程。

　　曾幾何時，璀璨的文藝復興（14~16世紀）與激蕩的大航海時代（15~17世紀）同時上演。數(shù)學在與其他學科和各類現(xiàn)實應用的互動中快速發(fā)展——航海需要的天體力學、戰(zhàn)爭中優(yōu)化炮彈等武器需要的運動力學紛紛刺激、呼喚著數(shù)學的新突破。

　　牛頓引領的科學計算風潮應運而生，在古希臘數(shù)學理性、抽象、脫離于自然的傳統(tǒng)上注入了對現(xiàn)實的強烈關切，讓數(shù)學家更關注物理、天文、力學、光學等自然科學和應用中產(chǎn)生的問題，主導了17、18世紀和19世紀大部分時間里的數(shù)學文化。而數(shù)學也因為與應用緊密交融，帶來了豐碩的學術成果。

　　然而，浪漫的現(xiàn)實主義，卻遭遇了漫長歲月里三次數(shù)學危機狠狠落下的“錘”：

　　公元前5世紀，信奉“萬物皆數(shù)”（整數(shù)）的畢達哥拉斯學派慌了：一位叫希伯斯的人發(fā)現(xiàn)了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（長度為根號2）永遠無法用最簡整數(shù)比表示，推翻了畢達哥拉斯的著名理論，引發(fā)了第一次數(shù)學危機。畢達哥拉斯學派憤怒地把希伯斯拋入大海。直到公元前400年，通過對無理數(shù)的定義，第一次危機被解決；

　　18世紀，微積分蓬勃發(fā)展，但人們發(fā)現(xiàn)牛頓和萊布尼茲分別創(chuàng)立的微積分理論是不嚴格的，他們對基本概念“無窮小”的理解是混亂的，微積分的合理性遭遇巨大質(zhì)疑，第二次數(shù)學危機爆發(fā)。直到柯西用極限的方法定義了“無窮小”，微積分理論才得以進一步發(fā)展完善；

　　19世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，其干凈漂亮讓數(shù)學家們開始相信集合論可以成為一切數(shù)學的基石。1900年的國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊甚至興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了！”

　　可好景不長。1903年，英國數(shù)學家羅素提出著名的“羅素悖論”震驚了數(shù)學界：集合論是有漏洞的！第三次數(shù)學危機隨之爆發(fā)。

　　本意修地基的人，越修卻越發(fā)現(xiàn)更多的坑。

　　三次數(shù)學危機，讓數(shù)學家們篤信的數(shù)學大廈的嚴格性一次又一次被撼動、修補、再撼動、再修補，此后，直覺主義、邏輯主義、形式主義和集合論公理化蓬勃發(fā)展，被危機嚇怕了的數(shù)學家深深意識到“攘外必先安內(nèi)”——四大流派當時的首要任務已不是解決來自物理、天文、光學、航海、炮彈制造等多個實際領域的問題，而是以各自的方式，試圖讓數(shù)學重回一個邏輯嚴密的系統(tǒng)。

　　直到1931年，哥德爾終于給了數(shù)學體系致命一擊。

　　哥德爾以一篇《論<數(shù)學原理>中的形式不可判定命題及有關系統(tǒng)》論文提出“哥德爾不完備定理”——“真的”和“可證的”從此被區(qū)分開來，可證的是真的，但真的不一定可證，換句話說，世界上不存在既沒有矛盾，又完備的數(shù)學系統(tǒng)。

　　這是一記重錘。數(shù)學家們終于開始接受確定性的喪失——數(shù)學，并非一個和自然完美對應的真理體系。

　　咔嚓一下，支撐信念的東西脆裂了。

　　一種深刻的變化由此蔓延——既然數(shù)學并不必然和自然對應，那么用自然中的問題來啟發(fā)數(shù)學研究似乎也并無必要。

　　此后，自然、現(xiàn)實應用中涌現(xiàn)的問題，不再是指引數(shù)學家方向的明燈。

　　另一方面，現(xiàn)代高校分科制度的建設、教職評定的各種指標，又進一步強化了數(shù)學和其他學科之間的分離。學界有學界的規(guī)則，全職研究者不得不考慮頂級刊物、獎項的口味。

　　漸漸地，數(shù)學和物理、力學、天文學、電磁學等自然科學的深刻羈絆減弱了，數(shù)學被看做“形式科學”，和“自然科學”區(qū)隔開來；甚至即使在數(shù)學的國度內(nèi)，數(shù)學家們也不再相互理解了。

　　純數(shù)學變得越發(fā)驕傲，失去了牛頓、龐加萊時代的“野蠻”活力（在后世數(shù)學家看來，18世紀的數(shù)學過于依賴直覺，缺乏嚴密性）。

　　1947年，馮·諾依曼曾敏銳地察覺了數(shù)學家想拋棄其他試驗科學的動向：

　　正如一個孤獨的孩子是很難自發(fā)變開朗的，改變數(shù)學的“孤立”，很難靠從內(nèi)“自爆”，而需要從外敲擊。

　　比如動蕩的二戰(zhàn)就是一個敲開數(shù)學封閉圍墻的鑰匙。彼時的普林斯頓高等研究院在“形勢所迫”下，成了現(xiàn)代歷史上最后一個數(shù)學與其他科學緊密互動的殿堂：最杰出的物理學家愛因斯坦、最杰出的數(shù)學家哥德爾、開創(chuàng)了計算機科學的馮·諾依曼、人工智能的鼻祖圖靈，總能輕松穿過走廊自由交談，一個世界的智慧啟發(fā)著另一個世界的方向。

　　而如今，圍墻之外，“6化的世界”又開始急切地敲門了。

　　3.著急的工業(yè)界

　　在數(shù)學世界的另一端，工業(yè)界可沒那么深沉。

　　他們的思維方式簡單粗暴——產(chǎn)業(yè)發(fā)展遇到了瓶頸，亟需更多基礎理論支撐。

　　近年來，從高端制造需要的材料科學，到物流、交通和智慧城市離不開的運籌學，到安全技術所依賴的密碼學，再到直接卡住人工智能進展的算法層的思想革新，“硬科技”在工業(yè)界的落地，處處呼喚著數(shù)學。

　　去年以來引起中國普通民眾關心的半導體產(chǎn)業(yè)，正急需數(shù)學的貢獻。

　　在芯片設計、制造的繁復流程中，每個微小差別——比如不同的組件尺寸、組件材質(zhì)、元器件排布等——都可能使芯片性能產(chǎn)生巨大差異，所謂“失之毫厘謬以千里”。

　　而數(shù)學的引入，則能在仿真和模擬環(huán)節(jié)代替成本高、耗時長的真實實驗，提前預判芯片的效果。

　　目前，科學家已找到了許多描述半導體特性的數(shù)學方程，但是在求得精確解上，數(shù)學家仍束手無策，只能借由計算機得到近似解。隨著芯片制造難度的升級，工業(yè)界急需找到更優(yōu)的計算方法。

　　在對新型燃料電池、高端裝備、高端制造影響深遠的材料科學領域，科學家也在呼喚數(shù)學家的跨學科援助。

　　如離散幾何分析極有可能助力對納米多孔材料的研究，這一材料在研發(fā)新型催化劑上有廣泛的應用前景，而新型催化劑又有可能攻克氫燃料電池的應用難題，從而帶來新一輪的汽車革命。

　　而如今大熱的人工智能領域，數(shù)學缺席的瓶頸感格外明顯。

　　業(yè)界對過去一年的人工智能有一個評價：2018年，人工智能的進展就是沒有進展。

　　《浪潮之巔》作者、硅谷風險投資人吳軍有一個判斷：“人工智能技術20年內(nèi)不會有大突破，因為今天的人工智能已經(jīng)用光了40年來所積累的技術紅利。”

　　這要追溯到神經(jīng)網(wǎng)絡、深度學習方法的緣起。上世紀70年代，計算機科學家就開始研究神經(jīng)網(wǎng)絡在推進人工智能上的可行性。

　　在《甲小姐對話特倫斯》一文中我們曾提到，當時，人工智能開山鼻祖之一馬文·明斯基認為神經(jīng)網(wǎng)絡有數(shù)學上的局限性，在他的權(quán)威震懾下，神經(jīng)網(wǎng)絡在此后近40年里一直無緣主流。

　　2012年之后，主流快速翻轉(zhuǎn)，深度學習在“大算力+大數(shù)據(jù)”加持下獲得神速進展，功能主義取代理論體系成為人工智能領域的尚方寶劍，但花開遍地后，卻遇到了能力進一步提升的關卡。

　　關卡背后的深層原因是，神經(jīng)網(wǎng)絡和深度學習，是對以邏輯、規(guī)則為基礎的“建制派”的顛覆：好處是在結(jié)合大數(shù)據(jù)之后效果立竿見影；壞處則是深度學習成了一個人們只知其然而不知其所以然的“黑匣子”，效果顯著，卻缺乏數(shù)學理論支持。

　　到2016年，人工智能領域的頂級賽事ImageNet中的神經(jīng)網(wǎng)絡層數(shù)已達到了1207層，工程思維一度蓋過科學思維，但要想進一步發(fā)揮作用，沒有底層理論支撐很難突破。

　　在2017年的中國計算機大會（CNCC 2017）上，首位華人菲爾茲得主、哈佛大學終身教授丘成桐曾從數(shù)學家的角度發(fā)出提醒：

　　如今，中國工業(yè)界對攀登人工智能高地躊躇滿志，在應用領域也是“形勢一片大好”，誕生了諸多知名的業(yè)界公司，但卻面臨著丘成桐提及的“基礎不牢”的隱憂。

　　上周五接受《經(jīng)濟觀察報》采訪時，中國科學院院士、清華大學教授張鈸提到了中國人工智能領域目前仍長于跟隨，不擅拓荒：

　　當被問及瓶頸該如何突圍時，張鈸院士給出了兩個方向：“一是數(shù)學，二是腦科學。”

　　何時可以迎來突圍？

　　院士的回答，真誠中有一點無奈：

　　“很難預計，我們也很著急?！?/span>

　　4.知其所以然

　　數(shù)學究竟能為工業(yè)帶來什么？

　　任正非在采訪中提到，F(xiàn)22隱形飛機的隱形原理是五十年代俄羅斯數(shù)學家發(fā)明的。而華為在2008年推出的傳奇技術方案SingleRAN，更是數(shù)學支撐工業(yè)應用的一個經(jīng)典范例。

　　對華為的客戶，即網(wǎng)絡運營商們來說，SingleRAN解決了一個剛需：在2G、3G、4G和不斷到來的通信網(wǎng)絡迭代中，提供同時運營多制式網(wǎng)絡的能力，從而讓運營商以更低成本平滑進入4G時代。

　　這一方案迅速引領業(yè)界風潮，到2010年底，華為已在全球部署了80個SingleRAN網(wǎng)絡?！督?jīng)濟學人》的一篇報道提到，拉美運營商AméricaMóvil在部署了華為的SingleRAN之后，基站功耗降低了50％，設備數(shù)量減少了70％。

　　SingleRAN的革新性，離不開背后復雜的數(shù)學算法。

　　2006年，陸家嘴軟件園，華為上海研究所903實驗室里，射頻領域首席專家，華為Fellow呂勁松向多載波技術這一業(yè)界難題發(fā)起挑戰(zhàn)，這是SingleRAN的起點。

　　在1年半的研發(fā)過程中，華為俄羅斯研究所的算法專家鼎力相助——當年華為之所以在莫斯科建俄羅斯研發(fā)中心，正是看中了俄羅斯作為傳統(tǒng)數(shù)學強國的深厚底蘊。

　　不僅提前布局基礎數(shù)學研究，華為還通過長年投入，趟完了從基礎數(shù)學到工程化落地的各種坑。呂勁松在開發(fā)多載波技術時，曾在生產(chǎn)線上待了6個月，從庫房到物料，到貼片機，清查了各環(huán)節(jié)可能影響質(zhì)量的所有細節(jié)，保證了SingleRAN的質(zhì)量。

　　正是對基礎研究的持續(xù)投入和超強的工程能力，為華為建立了作為設備商的技術壁壘。借助SingleRAN，此前通信設備業(yè)務收入排名全球第四的華為力壓愛立信、諾基亞、西門子，在4G普及的2014年，一躍登上世界頭把交椅。

　　5G時代，數(shù)學又幫華為進一步獲得了制定標準的先機。

　　去年7月26日，華為深圳總部紅毯鋪地，歡迎一個神秘來賓，他并非政要商要，而是土耳其畢爾肯大學教授Erdal Arikan。

　　當天的活動是為了感謝這位非華為編制的研究者。

　　2010年，已投入5G研發(fā)兩年的華為發(fā)現(xiàn)了Arikan在2008年提出的Polar Code（極化碼）理論。

　　相比Arikan的導師Robert G. Gallager（香農(nóng)的學生）在1963年提出的信道編碼技術LDPC碼，Polar Code有理論上的優(yōu)勢，但從工程學的角度來說不成熟。

　　華為頂著風險，陸續(xù)圍繞Polar Code投入了數(shù)千人的研發(fā)資源，把Arikan的論文變成了一系列專利和技術，并使之在2016年底成為5G控制信道編碼方案——這是中國廠商第一次掌握了國際移動通信標準制定的話語權(quán)。

　　在去年那場感謝Arikan教授的活動中，任正非說：“我們要加強基礎研究的投資，希望用于基礎研究費用從每年總研發(fā)費用150-200億美金中劃出更多的一塊來，例如20%-30%，這樣每年有30-40億美金左右作為基礎研究投入。”

　　這也是為什么，在如今華為遭遇危機后，任正非仍能自信地表態(tài)：“華為的5G是絕對不會受影響，在5G技術方面，別的國家兩三年內(nèi)肯定追不上華為?！?/span>

　　2016年獲得諾貝爾物理學獎的拓撲絕緣體，也是數(shù)學和科學、工業(yè)界碰撞的成果。

　　拓撲學本是數(shù)學的一個分支，研究幾何體在連續(xù)形變中的不變性質(zhì)。2007年發(fā)現(xiàn)的拓撲絕緣體，是將誕生已100多年的拓撲學引入凝聚態(tài)物理的成果之一。

　　拓撲絕緣體被認為是繼石墨烯之后的“next big thing”，它內(nèi)部絕緣，表面導電，特性神奇，在半導體行業(yè)極有應用前景。

　　對拓撲絕緣體做出了貢獻的張首晟，在與南洋理工大學學生交流這一發(fā)現(xiàn)時提到：愛因斯坦、狄拉克和楊振寧都完美的體現(xiàn)了一種風格——他們都有著最堅定的信念，那就是物理的最基本法則應該是被數(shù)學的美感所激發(fā)。

　　而在前沿計算機領域，數(shù)學界也顯現(xiàn)出興趣，并開始挑戰(zhàn)困擾人工智能已久的深度學習的“黑匣子”問題。

　　丘成桐及其團隊在2017年10月發(fā)表了一篇論文，用幾何學解釋了GAN（生成對抗網(wǎng)絡）。

　　這個成果將GAN與最優(yōu)傳輸理論、凸幾何進行類比，使其轉(zhuǎn)化為了一個可求解的數(shù)學問題，從而為黑箱給出了透明的幾何解釋——這將有助于設計出更高效、可靠的計算方法。

　　看來，作為數(shù)學泰斗的丘成桐并不在意“6與不6”的界限，這其中有個淵源——丘成桐的學生顧險峰“6化”到了“計算機圖形學”，而這種跨界的視角產(chǎn)生了一個如今救人性命的好東西：用于直腸癌篩查的虛擬腸鏡。

　　大多數(shù)因篩查及時而獲得救治的病人可能很難想象，一切的起源是2000年時，丘成桐辦公室里的一塊黑板。

　　在這塊黑板上，丘成桐給顧險峰講了全純一次微分和黎曼面之間的關系。這些理論后來被顧險峰應用到將直腸曲面攤平展開的想法上，成了虛擬腸景的算法技術核心，這一成果隨后被西門子和GE公司購買，目前已是CT掃描器械上的標配軟件。

　　不知不覺間，艱澀的數(shù)學支撐起了很多人的平凡“小確幸”。

　　俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基曾說：“不管數(shù)學的任一分支是多么抽象，總有一天會應用在這實際世界上?！?/span>

　　正應了一種說法：所有理論數(shù)學，最終都是應用數(shù)學。

　　5.我們終將度過

　　在80年前的“數(shù)學人才大遷徙”中，中國只是全球?qū)W術體系的“背景板”——如哥德爾取道日本前往美國時，曾路過日占的滿洲里；許多歐洲科學家在橫跨美國時經(jīng)由的太平洋鐵路，凝結(jié)著150萬華人勞工的血淚。

　　而如今，在數(shù)學和工業(yè)的最新互動中，中國的“存在感”越來越強。

　　現(xiàn)在，不僅華為在莫斯科、巴黎建了數(shù)學研究中心，支持東歐、日本數(shù)學家的研究，各大中國互聯(lián)網(wǎng)公司也在紛紛硅谷設立實驗室，就地招攬人才。

　　這是一種全球化的“筑巢引鳳”。

　　華為把這一思路表達得很清楚——“在有鳳的地方筑巢”，機構(gòu)跟著人才走，而不是人才跟著機構(gòu)走。

　　在全球化體系下，重要的并非地理位置，而是創(chuàng)造價值。從歐洲某個數(shù)學家的黑板上，可能會長出新的良藥；在中國的某個實驗室里，可能正醞釀著推動量子計算前進的發(fā)現(xiàn)。

　　今天，人類的科學技術，比商品經(jīng)濟在世界上的傳播交融范圍更大、影響更廣。

　　在遠古時期，美索不達米亞人建造了巴比倫，印度人發(fā)明了十進位制，埃及人建造了金字塔，中國修筑了長城，希臘人擅長邏輯推理，印加人發(fā)明了最先進的歷法……過往幾千年文明史，人類知識的進步，正是千百年來跨地區(qū)、跨學科交融互動的累積式發(fā)展的結(jié)果。

　　現(xiàn)在，特朗普政府的做法正在動搖科研體系的全球化互動。

　　從二戰(zhàn)時期接收大量歐洲科學家，到戰(zhàn)后80年里吸引全球頂尖人才，美國本是這種開放體系的最大受益者。

　　然而從去年底開始，麻省理工學院、威斯康辛大學、伯克利大學紛紛因“非學術的原因”，宣布不再接受華為捐款。國際主義的筑巢引鳳吃了閉門羹：你是大方，我也缺錢（如伯克利這樣的公立大學要靠政府撥款，但加州政府財政赤字嚴重，近年來陸續(xù)削減了公立大學的經(jīng)費），但你的錢，我不能要了。

　　特朗普政府對美國公司和高校的施壓，已產(chǎn)生了一個波及范圍遠超中美的影響：搞亂了全球分工體系，污染了跨國學術交流。

　　最壞的不是在邊境上筑起高墻，而是在人心里建起提防。

　　好在，真正理解科技發(fā)展背后作用力的人，正選擇站在真理的一邊。上周四，耶魯大學校長蘇必德的聲明在晦暗中帶來了些許光亮：

　　這位校長很明白：對探索著未知邊界的數(shù)學家等基礎學科先鋒來說，提防心尤為有害，它阻擋了人類作為一個整體向前邁進的步伐。

　　這是1930年，被譽為最后一位“數(shù)學全才”的希爾伯特退休時演講的最后六個單詞。彼時，盡管數(shù)學家們?nèi)曰\罩在第三次數(shù)學危機之下，但他們?nèi)匀粓孕?，這幢大廈的基礎是堅實的。

　　但愿這一次，當世界站上門檻，會有更多的人看清科學與工業(yè)交匯的價值，和它所需要的樸實根基——一個開放、融合、流動的跨地域、跨學科的人才源泉，一個真正理解進步之含義的文明體系；

　　但愿這一次，數(shù)學不再孤獨，工業(yè)不再無援，越來越多的人可以基于客觀規(guī)律抱以同一個信念：

　　我們必須度過，我們必將度過。

　　參考資料：

　　1.John Cornwell，Hitler's Scientists: Science, War, and the Devil's Pact，Penguin，2004.09

　　2.瑞德著，袁向東，李文林譯，《希爾伯特——數(shù)學世界的亞歷山大》，上?？茖W技術出版社，2006.07

　　3.莫里斯·克萊因 著，李宏魁 譯，《數(shù)學簡史：確定性的消失》，湖岸出版社，2019.03

　　4.人民郵電報，《華為余承東：GSM/UMTS/LTE是SingleRAN三特性》，2011.02

　　5.南洋理工大學高等研究所編，《諾貝爾獎得主與名人在新加坡南洋理工大學講演與訪談》，2016.02

　　6.Na Lei, Kehua Su, Li Cui, Shing-Tung Yau, David Xianfeng Gu，A Geometric View of Optimal Transportation and Generative Model，Computer Aided Geometric Desig，2019.01

　　7.《光陰的故事》，華為心聲社區(qū)，2016.10

　　8.《Fellow呂勁松對話成研：非深潛無以成SE》，華為人，2014.08

　　9.《超越時代的眼光——為丘成桐先生七十壽辰而作》，老顧談幾何，2019.03

　　10.西蒙·辛格著，薛密 譯，《費馬大定理》，2013.01